(不定期更新)大物上笔记

大物上本质就是微积分,只不过对微分变量的选取更加讲究。

第五章

电场强度(场强)

求场强(离散型)

求场强(连续型)

常用电场场强

点电荷、带电球壳、带电球体(外)

其中$\vec{e_r}$是$q$指向$P$点的单位矢量

无限长均匀带电直线(或与直线距离很近),半无限长乘1/2

无限大均匀带电平面(或与平面距离很近)

半球壳

高斯定理求场强(对称性)

带电球壳

对于求球壳外的电场,可以将球壳等效为电荷集中在球心处的点电荷进行计算。

无限长柱面

对于求柱面外的电场,可以将球壳等效为无限长均匀带电直线进行计算。

注意结果是匀强电场。一对无限大带电平面就乘2即可。

带电球体

电势

设正电荷为$q$,距离处有一点,电势为,距离处有一点$p_2$,电势为$\varphi_2$,则:

$\varphi_a=\int_a^\infty \vec{E} \cdot \mathrm{d} \vec{l}$,通常我们的考试题下$\vec{E}$与$\vec{l}$是同向的,因此可以直接去掉箭头。

电势是标量,可以直接累加.

常用电势

点电荷的电势: $\varphi=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r}$

连续带电体的电势分布: $\varphi=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\mathrm{d}q}{r}$

带电球壳的内部电势相同(因为内部场强为0),在球壳外,电势与球心距离成反比.

带电$q$细圆环的电势直接将$r$换为$\sqrt{R^2+x^2}$即可.

用电势求场强

大部分情况只考虑一元,也就是的情况.

其中大小为,方向为.

第六章

导体的静电平衡

如果两个带电体相距足够远,可以看作它们电势相等

如果物体接地,代表物体电势为0,但并不代表物体没有感应电荷。

电容和电容器

首先电容的定义式为$C=\frac{Q}{U}$,跟高中相同。

对于平行板电容器,有电荷面密度$\sigma$:

对于球形电容器,设两球壳分别带电$\pm{q}$

特别地,孤立导体球的电容是$4\pi\varepsilon_0R$,即$R_2$趋向于正无穷的情况。

电容器串联,等效电容的倒数等于各个电容的倒数和。

电容器并联,等效电容等于各个电容的和。(与电阻相反)

静电场中的电介质

几个新物理量的关系($\varepsilon_r$为相对电容率)?

引进电位移矢量,有$\vec{D}$的高斯定理

注意右侧没有$\frac{1}{\varepsilon_0}$

静电能计算

  • 用电势:

  • 用能量密度:,然后

  • 对于电容器:

第七章

恒定电流

电流的微分公式$I=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$

电流密度$\vec{j}=nq\vec{u}$

电流连续性方程$\oint\vec{j}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=-\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}=0$(流出),恒定电流

欧姆定律的微分形式$\vec{j}=\gamma\vec{E}$

电阻的积分形式$R=\int_L\frac{\rho \mathrm{d}l}{s}, \rho=\frac{1}{\gamma}$

电动势,注意这里的力都是非静电力,$ℰ$方向为电源负极指向正极。

比奥-萨法尔定律与常用磁场场强(1)

$\mathrm{d}B=\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I\mathrm{d}\vec{l}\times\vec{e_r}}{r^2}$,其中$I\mathrm{d}\vec{l}$为电流元,$\vec{e_r}$的方向为电流源指向所求点的方向。

$\vec{B}=\int \mathrm{d}\vec{B}=\int\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I\mathrm{d}\vec{l}\times\vec{e_r}}{r^2}$

以下为了方便去掉$B$的箭头。

无限长载流导线

$B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r_0}$,半无限长就除以2。

载流圆线圈轴线上一点

$B=\frac{\mu_0 I R^2}{2 r^3}, r=\sqrt{R^2+x^2}$

当$x=0$时,$B=\frac{\mu_0 I}{2R}$

长直密绕螺线管轴线上一点

$B=\frac{\mu_0nI}{2}(\sin \beta_2-\sin \beta_1)$,这里的$\beta$是与y轴正向的夹角。

当螺管无限长,$B=\mu_0 n I$,半无限长就除以2。

安培环路定理与常用磁场场强(2)

安培环路定理(类比高斯定理):

无限长圆柱体

在圆柱内部:

在圆柱外部:$B=\frac{\mu_0I}{2\pi r}$

无限长直螺线管&螺绕环

根据安培环路定理,分别取圆形、矩形回路,近似处理后,均可得到:

$B=\mu_0 nI$

其中$n=\frac{N}{l}$或$n=\frac{N}{2\pi r}$,$N$为线圈匝数。

无限大载流平面

$B=\frac{1}{2}\mu_0j$

故无限大载流平面的两侧为匀强磁场。

位移电流与全电流

电荷定向移动形成的电流为传导电流$I_c$,而变化的电场与位移电流$I_d$等价。

位移电流密度:

位移电流:

普遍的安培环路定理:

运动电荷在磁场中受力

洛伦兹力:$\vec{f}=q\vec{v}\times\vec{B}$

匀强磁场中的匀速圆周运动

  • $R=\frac{mv}{qB}$
  • $T=\frac{2\pi m}{qB}$
  • 螺距$h=v_\parallel \cos \theta$

霍尔效应

霍尔电势差$U_H=\kappa \frac{BI}{d}$,霍尔系数$\kappa=\frac{1}{nq}$

N型与P型的判断:(填坑)

载流导线在磁场中受力

非闭合型:$\vec{F}=\int \mathrm{d}\vec{F}=\int_L I\mathrm{d}\vec{l} \times \vec{B}$

闭合型(圆形、矩形):

  • 磁矩:$\vec{m}=IS\vec{e_n}$
  • 磁力矩:$\vec{M}=\vec{m}\times\vec{B}$(难点在于方向判断)

磁介质

绕核旋转的电子有两个磁矩,一个是“公转”的轨道磁矩,一个是“自转”的自旋磁矩,前者大于后者。

以轨道磁矩为例,可等效为环形电流$i=\frac{e}{T}=\frac{e\omega}{2\pi}$,故磁矩为